ある工場で製造された製品A 900個を調査したところ、不良品が90個あった。この工場で製造される製品Aにおける不良品の母比率 $p$ に対する信頼度95%の信頼区間を求める問題です。

1. 問題の内容

ある工場で製造された製品A 900個を調査したところ、不良品が90個あった。この工場で製造される製品Aにおける不良品の母比率 $p$ に対する信頼度95%の信頼区間を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、標本比率 $\hat{p}$ を計算します。

$\hat{p} = \frac{90}{900} = 0.1$

次に、信頼度95%に対応する$z$値を求めます。信頼度95%の場合、$z = 1.96$を使うことが多いです。

信頼区間は以下の式で求められます。

$\hat{p} - z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \leq p \leq \hat{p} + z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

ここで、$\hat{p} = 0.1$, $n = 900$, $z = 1.96$を代入します。

$0.1 - 1.96 \sqrt{\frac{0.1(1-0.1)}{900}} \leq p \leq 0.1 + 1.96 \sqrt{\frac{0.1(1-0.1)}{900}}$

$0.1 - 1.96 \sqrt{\frac{0.09}{900}} \leq p \leq 0.1 + 1.96 \sqrt{\frac{0.09}{900}}$

$0.1 - 1.96 \sqrt{0.0001} \leq p \leq 0.1 + 1.96 \sqrt{0.0001}$

$0.1 - 1.96(0.01) \leq p \leq 0.1 + 1.96(0.01)$

$0.1 - 0.0196 \leq p \leq 0.1 + 0.0196$

$0.0804 \leq p \leq 0.1196$

3. 最終的な答え

$0.0804 \leq p \leq 0.1196$