全体集合$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$、集合$A = \{2, 3, 8, 10, 12\}$、集合$B = \{3, 4, 7, 11\}$が与えられたとき、$\overline{A} \cap \overline{B}$と$\overline{A \cup B}$を求めよ。 ただし$\overline{A}$は$A$の補集合を表す。

1. 問題の内容

全体集合$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$、集合$A = \{2, 3, 8, 10, 12\}$、集合$B = \{3, 4, 7, 11\}$が与えられたとき、$\overline{A} \cap \overline{B}$と$\overline{A \cup B}$を求めよ。

ただし$\overline{A}$は$A$の補集合を表す。

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$と$\overline{B}$を求める。

$\overline{A} = U - A = \{1, 4, 5, 6, 7, 9, 11\}$

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 5, 6, 8, 9, 10, 12\}$

次に、$\overline{A} \cap \overline{B}$を求める。これは$\overline{A}$と$\overline{B}$の両方に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 6, 9\}$

次に、$A \cup B$を求める。これは$A$と$B$の少なくとも一方に含まれる要素の集合である。

$A \cup B = \{2, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 12\}$

最後に、$\overline{A \cup B}$を求める。これは$U$から$A \cup B$の要素を除いた集合である。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 5, 6, 9\}$

3. 最終的な答え

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 6, 9\}$

$\overline{A \cup B} = \{1, 5, 6, 9\}$