数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ がある。数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_3 = 8$, $a_8 = 23$ である。また、数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = n^2 + 2n$ である。$a_n$ と $b_n$ をそれぞれ $n$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ がある。数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_3 = 8$, $a_8 = 23$ である。また、数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = n^2 + 2n$ である。$a_n$ と $b_n$ をそれぞれ $n$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、等差数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。等差数列の一般項は $a_n = a + (n-1)d$ と表せる。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差である。問題文より、

$a_3 = a + 2d = 8$

$a_8 = a + 7d = 23$

この2つの式から $a$ と $d$ を求める。2番目の式から1番目の式を引くと、

$5d = 15$

$d = 3$

これを $a + 2d = 8$ に代入すると、

$a + 2(3) = 8$

$a + 6 = 8$

$a = 2$

したがって、$a_n = 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$

次に、数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求める。$S_n$ は $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和であるから、

$b_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$

$n \geq 2$ のとき、$b_n = S_n - S_{n-1}$ である。

$S_n = n^2 + 2n$

$S_{n-1} = (n-1)^2 + 2(n-1) = n^2 - 2n + 1 + 2n - 2 = n^2 - 1$

$b_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - (n^2 - 1) = n^2 + 2n - n^2 + 1 = 2n + 1$

$n = 1$ のときも $b_1 = 2(1) + 1 = 3$ なので、この式は $n \geq 1$ で成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 3n - 1$

$b_n = 2n + 1$