次の和を求めよ。 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + \frac{1}{2}n(n+1)$

$= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1+3)$

$= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+4)$

$= \frac{1}{6}n(n+1) \cdot 2(n+2)$

$= \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$