(1) $x > 2$ かつ $y > 2$ のとき、$xy > x + y$ が成り立つことを示す。 (2) $x > 2$, $y > 2$, $z > 2$, $w > 2$ のとき、$xyzw > x + y + z + w$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

(1) $x > 2$ かつ $y > 2$ のとき、$xy > x + y$ が成り立つことを示す。

(2) $x > 2$, $y > 2$, $z > 2$, $w > 2$ のとき、$xyzw > x + y + z + w$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1)

$xy - x - y > 0$ を示す。

$xy - x - y + 1 > 1$

$(x-1)(y-1) > 1$

$x > 2$, $y > 2$ より、$x-1 > 1$, $y-1 > 1$ であるから、

$(x-1)(y-1) > 1 \cdot 1 = 1$

よって、$xy > x + y$ が成り立つ。

(2)

(1) より、$x > 2, y > 2$ のとき、$xy > x + y$ が成り立つ。同様に、$z > 2, w > 2$ のとき、$zw > z + w$ が成り立つ。

したがって、$xy > 4$, $zw > 4$ であるから、$xyzw > (x+y)(z+w)$ を示す。

まず、$xyzw > 16$ である。

$x > 2$, $y > 2$, $z > 2$, $w > 2$ であるから、$x + y > 4$, $z + w > 4$ である。

ここで、$xy > x+y$ かつ $zw > z+w$ である。

$xyzw > (x+y)(z+w) > (x+y) + (z+w) = x+y+z+w$

$xyzw > 16 > x + y + z + w$

別解：

$xyzw - (x+y+z+w) > 0$ を示す。

$x, y, z, w > 2$ より、$x-1 > 1$, $y-1 > 1$, $z-1 > 1$, $w-1 > 1$

$x = 2 + a, y = 2 + b, z = 2 + c, w = 2 + d$ とおく。ただし、$a, b, c, d > 0$.

$(2+a)(2+b)(2+c)(2+d) > (2+a) + (2+b) + (2+c) + (2+d)$ を示す。

$(2+a)(2+b)(2+c)(2+d) = (4 + 2a + 2b + ab)(4 + 2c + 2d + cd)$

$= 16 + 8a + 8b + 4ab + 8c + 4ac + 4bc + 2abc + 8d + 4ad + 4bd + 2abd + 4cd + 2acd + 2bcd + abcd$

$= 16 + 8(a+b+c+d) + 4(ab+ac+ad+bc+bd+cd) + 2(abc+abd+acd+bcd) + abcd$

$x+y+z+w = 8 + a + b + c + d$

$(2+a)(2+b)(2+c)(2+d) - (8 + a + b + c + d) > 0$ を示せば良い。

$8 + 7(a+b+c+d) + 4(ab+ac+ad+bc+bd+cd) + 2(abc+abd+acd+bcd) + abcd > 0$

これは明らかに成立する。

よって、$xyzw > x+y+z+w$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $x > 2$, $y > 2$ のとき、$xy > x + y$ が成り立つ。

(2) $x > 2$, $y > 2$, $z > 2$, $w > 2$ のとき、$xyzw > x + y + z + w$ が成り立つ。