全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$、集合 $A = \{1, 3, 5, 7\}$、集合 $B = \{1, 2, 4, 8\}$ が与えられている。このとき、集合 $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$ を求める。ここで、$\overline{A}$、$\overline{B}$ はそれぞれ $A$、$B$ の補集合を表す。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$、集合 $A = \{1, 3, 5, 7\}$、集合 $B = \{1, 2, 4, 8\}$ が与えられている。このとき、集合 $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$ を求める。ここで、$\overline{A}$、$\overline{B}$ はそれぞれ $A$、$B$ の補集合を表す。

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求める。

$\overline{A}$ は $U$ から $A$ の要素を取り除いた集合であるから、

$\overline{A} = U - A = \{2, 4, 6, 8\}$

$\overline{B}$ は $U$ から $B$ の要素を取り除いた集合であるから、

$\overline{B} = U - B = \{3, 5, 6, 7\}$

次に、$A \cap \overline{B}$ と $\overline{A} \cap B$ を求める。

$A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の共通部分であるから、

$A \cap \overline{B} = \{1, 3, 5, 7\} \cap \{3, 5, 6, 7\} = \{3, 5, 7\}$

$\overline{A} \cap B$ は $\overline{A}$ と $B$ の共通部分であるから、

$\overline{A} \cap B = \{2, 4, 6, 8\} \cap \{1, 2, 4, 8\} = \{2, 4, 8\}$

最後に、$(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$ を求める。

$(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$ は $(A \cap \overline{B})$ と $(\overline{A} \cap B)$ の和集合であるから、

$(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) = \{3, 5, 7\} \cup \{2, 4, 8\} = \{2, 3, 4, 5, 7, 8\}$

3. 最終的な答え

$(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) = \{2, 3, 4, 5, 7, 8\}$