与えられた式 $(x^2)^3 - (y^2)^3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2)^3 - (y^2)^3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、べき乗の法則 $(a^m)^n = a^{mn}$ を用いて式を簡略化します。

$(x^2)^3 = x^{2*3} = x^6$

$(y^2)^3 = y^{2*3} = y^6$

したがって、与えられた式は $x^6 - y^6$ となります。

次に、$x^6 - y^6$ を因数分解します。

これは、$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ および $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の因数分解公式を利用できます。

$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$

さらに、$x^3 - y^3$ と $x^3 + y^3$ を因数分解します。

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

したがって、

$x^6 - y^6 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

これを整理すると、

$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

また、$x^6-y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3$と見ると、$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$の公式より、

$x^6 - y^6 = (x^2-y^2)((x^2)^2+x^2y^2+(y^2)^2)$

$x^6 - y^6 = (x-y)(x+y)(x^4+x^2y^2+y^4)$

ここで、$x^4+x^2y^2+y^4 = x^4+2x^2y^2+y^4 - x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$なので、

$x^6-y^6 = (x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$

3. 最終的な答え

$(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$