ある都市で、天気予報が当たる事象をA、雨が降る事象をBとする。$P(A|B)=0.7$、$P(A|B^c)=0.8$、$P(B)=0.2$が与えられている。 (1) $P(A)$を求める。 (2) $P(B|A)$を求める。

1. 問題の内容

ある都市で、天気予報が当たる事象をA、雨が降る事象をBとする。$P(A|B)=0.7$、$P(A|B^c)=0.8$、$P(B)=0.2$が与えられている。

(1) $P(A)$を求める。

(2) $P(B|A)$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 全確率の公式を用いて$P(A)$を求める。

全確率の公式とは、$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B^c)P(B^c)$のことである。

ここで、$P(B^c)=1-P(B)=1-0.2=0.8$である。

$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B^c)P(B^c) = 0.7 \times 0.2 + 0.8 \times 0.8 = 0.14 + 0.64 = 0.78$

(2) ベイズの定理を用いて$P(B|A)$を求める。

ベイズの定理とは、$P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$のことである。

$P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} = \frac{0.7 \times 0.2}{0.78} = \frac{0.14}{0.78} = \frac{14}{78} = \frac{7}{39}$

3. 最終的な答え

(1) $P(A) = 0.78$

(2) $P(B|A) = \frac{7}{39}$