(1) 整式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りが $P(a)$ であることを証明する。（剰余の定理） (2) 整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが 2 であり、$x+2$ で割ると余りが 5 であるとき、$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

(1) 整式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りが $P(a)$ であることを証明する。（剰余の定理）

(2) 整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが 2 であり、$x+2$ で割ると余りが 5 であるとき、$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R$ とすると、

$P(x) = (x-a)Q(x) + R$ と表せる。

ここで、$x = a$ を代入すると、

$P(a) = (a-a)Q(a) + R = 0 \cdot Q(a) + R = R$

よって、$R = P(a)$ となる。したがって、余りは $P(a)$ である。

(2) $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ (1次式以下) とすると、

$P(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax + b$ と表せる。

条件より、$P(1) = 2$ かつ $P(-2) = 5$ なので、

$P(1) = (1-1)(1+2)Q(1) + a(1) + b = a + b = 2$

$P(-2) = (-2-1)(-2+2)Q(-2) + a(-2) + b = -2a + b = 5$

2つの式を連立して解くと、

$a + b = 2$

$-2a + b = 5$

上の式から下の式を引くと、

$3a = -3$

$a = -1$

$a + b = 2$ に $a = -1$ を代入すると、

$-1 + b = 2$

$b = 3$

したがって、余りは $-x + 3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $P(x) = (x-a)Q(x) + R$ と表せ、$x=a$を代入することで、$R = P(a)$ を示せた。

(2) 余りは $-x + 3$