ある病気に対する検査法があり、病気にかかっている事象をA、検査で陽性反応を示す事象をBとする。 $P(B|A) = 0.95$, $P(B|A^c) = 0.1$, $P(A) = 0.05$が与えられている。 このとき、$P(A|B)$を求めよ。

1. 問題の内容

ある病気に対する検査法があり、病気にかかっている事象をA、検査で陽性反応を示す事象をBとする。

$P(B|A) = 0.95$, $P(B|A^c) = 0.1$, $P(A) = 0.05$が与えられている。

このとき、$P(A|B)$を求めよ。

2. 解き方の手順

ベイズの定理を用いて、$P(A|B)$を計算する。

ベイズの定理は以下の通り。

$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

まず、$P(B)$を求める。

$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c)$

ここで、$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.05 = 0.95$

したがって、

$P(B) = (0.95)(0.05) + (0.1)(0.95) = 0.0475 + 0.095 = 0.1425$

次に、$P(A|B)$を計算する。

$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{(0.95)(0.05)}{0.1425} = \frac{0.0475}{0.1425} = \frac{475}{1425} = \frac{19}{57} \approx 0.3333$

3. 最終的な答え

$P(A|B) = \frac{19}{57} \approx 0.3333$