(1) $x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とするとき、$\omega^3 = 1$ かつ $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を示す。 (2) 整式 $x^{14} - 2x^{13}$ を $x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

(1) $x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とするとき、$\omega^3 = 1$ かつ $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を示す。

(2) 整式 $x^{14} - 2x^{13}$ を $x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 1 = 0$ を因数分解すると、 $(x-1)(x^2+x+1) = 0$ となる。 $\omega$ は $x^3 = 1$ の虚数解なので、$\omega \ne 1$。したがって、$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解である。よって、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。また、$\omega$ は $x^3=1$ の解なので、$\omega^3 = 1$ が成り立つ。

(2) $x^2+x+1=0$ の解は $\omega$ であるから、剰余の定理より、求める余りは $ax+b$ とおくと、

$x^{14}-2x^{13} = (x^2+x+1)Q(x) + ax + b$ （$Q(x)$ は商）

と表せる。この式に $x = \omega$ を代入すると、

$\omega^{14} - 2\omega^{13} = a\omega + b$

$\omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$

$\omega^{13} = (\omega^3)^4 \cdot \omega = 1^4 \cdot \omega = \omega$

よって、

$\omega^2 - 2\omega = a\omega + b$

$\omega^2 = -\omega - 1$ より、

$-\omega - 1 - 2\omega = a\omega + b$

$-3\omega - 1 = a\omega + b$

$\omega$ は虚数なので、$a = -3$, $b = -1$

したがって、求める余りは $-3x - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\omega^3 = 1, \omega^2 + \omega + 1 = 0$

(2) $-3x - 1$