$(2x^2 - \frac{1}{x})^6$ の展開式における、(1) $x^3$ の項の係数、(2) $\frac{1}{x^3}$ の項の係数、(3) 定数項をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

$(2x^2 - \frac{1}{x})^6$ の展開式における、(1) $x^3$ の項の係数、(2) $\frac{1}{x^3}$ の項の係数、(3) 定数項をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、二項定理より、一般項は

$_{6}C_{r} (2x^2)^{6-r} (-\frac{1}{x})^r = _{6}C_{r} 2^{6-r} x^{2(6-r)} (-1)^r x^{-r} = _{6}C_{r} 2^{6-r} (-1)^r x^{12-3r}$

となります。

(1) $x^3$ の項の係数を求める場合、$x^{12-3r} = x^3$ となる $r$ を求めます。

$12 - 3r = 3$

$3r = 9$

$r = 3$

したがって、$x^3$ の項の係数は、

$_{6}C_{3} 2^{6-3} (-1)^3 = \frac{6!}{3!3!} \times 2^3 \times (-1) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 8 \times (-1) = 20 \times 8 \times (-1) = -160$

(2) $\frac{1}{x^3}$ の項の係数を求める場合、$x^{12-3r} = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$ となる $r$ を求めます。

$12 - 3r = -3$

$3r = 15$

$r = 5$

したがって、$\frac{1}{x^3}$ の項の係数は、

$_{6}C_{5} 2^{6-5} (-1)^5 = _{6}C_{1} \times 2^1 \times (-1) = 6 \times 2 \times (-1) = -12$

(3) 定数項を求める場合、$x^{12-3r} = x^0$ となる $r$ を求めます。

$12 - 3r = 0$

$3r = 12$

$r = 4$

したがって、定数項は、

$_{6}C_{4} 2^{6-4} (-1)^4 = _{6}C_{2} \times 2^2 \times 1 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 = 15 \times 4 = 60$

3. 最終的な答え

(1) $x^3$ の項の係数：-160

(2) $\frac{1}{x^3}$ の項の係数：-12

(3) 定数項：60