与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

## 68 (2)の問題

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。

$S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

2. 解き方の手順

与えられた数列の和を$S$とおきます。

$S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

この式に$x$をかけると、

$xS = x + 4x^2 + 7x^3 + 10x^4 + \dots + (3n-2)x^{n}$

上の式から下の式を引くと、

$S - xS = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^{n}$

$(1-x)S = 1 + 3x(1 + x + x^2 + \dots + x^{n-2}) - (3n-2)x^{n}$

ここで、等比数列の和の公式を利用します。

$1 + x + x^2 + \dots + x^{n-2} = \frac{1-x^{n-1}}{1-x}$

これを代入すると、

$(1-x)S = 1 + 3x\frac{1-x^{n-1}}{1-x} - (3n-2)x^{n}$

$(1-x)S = 1 + \frac{3x - 3x^n}{1-x} - (3n-2)x^{n}$

$(1-x)^2 S = (1-x) + 3x - 3x^n - (3n-2)x^n(1-x)$

$(1-x)^2 S = 1 + 2x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}$

$(1-x)^2 S = 1 + 2x - (3n-2+3)x^n + (3n-2)x^{n+1}$

$(1-x)^2 S = 1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}$

したがって、$S$は次のようになります。

$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$