$(a+b+c)^7$ を展開したときの、指定された項の係数を求める問題です。 (1) $a^3b^2c^2$ (2) $a^5bc$ (3) $a^5b^2$

1. 問題の内容

$(a+b+c)^7$ を展開したときの、指定された項の係数を求める問題です。

(1) $a^3b^2c^2$

(2) $a^5bc$

(3) $a^5b^2$

2. 解き方の手順

多項定理を使用します。

$(a+b+c)^n$ の展開における $a^pb^qc^r$ の項の係数は、

$\frac{n!}{p!q!r!}$ で与えられます。ただし、$p+q+r=n$ である必要があります。

(1) $a^3b^2c^2$ の係数を求めます。

$n=7, p=3, q=2, r=2$ なので、$p+q+r = 3+2+2 = 7 = n$ となり、多項定理が適用できます。

係数は、

$\frac{7!}{3!2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 6}{6 \times 2 \times 2} = 7 \times 6 \times 5 = 210$

(2) $a^5bc$ の係数を求めます。

$n=7, p=5, q=1, r=1$ なので、$p+q+r = 5+1+1 = 7 = n$ となり、多項定理が適用できます。

係数は、

$\frac{7!}{5!1!1!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)(1)} = 7 \times 6 = 42$

(3) $a^5b^2$ の係数を求めます。

$a^5b^2c^0$と考えます。

$n=7, p=5, q=2, r=0$ なので、$p+q+r = 5+2+0 = 7 = n$ となり、多項定理が適用できます。

係数は、

$\frac{7!}{5!2!0!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(1)} = \frac{7 \times 6}{2} = 7 \times 3 = 21$

3. 最終的な答え

(1) $a^3b^2c^2$ の係数は $210$

(2) $a^5bc$ の係数は $42$

(3) $a^5b^2$ の係数は $21$