二項定理を用いて、次の等式を証明する問題です。 $_{n}C_{0} + _{n}C_{1} + _{n}C_{2} + \cdots + _{n}C_{n} = 2^{n}$

1. 問題の内容

二項定理を用いて、次の等式を証明する問題です。

$_{n}C_{0} + _{n}C_{1} + _{n}C_{2} + \cdots + _{n}C_{n} = 2^{n}$

2. 解き方の手順

まず、二項定理を $(1+x)^{n}$ に適用します。二項定理は以下のように表されます。

$(1+x)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {_{n}C_{k} x^{k}} = {_{n}C_{0}} + {_{n}C_{1}x} + {_{n}C_{2}x^{2}} + \cdots + {_{n}C_{n}x^{n}}$

次に、$x = 1$ を代入します。

$(1+1)^{n} = {_{n}C_{0}} + {_{n}C_{1}(1)} + {_{n}C_{2}(1)^{2}} + \cdots + {_{n}C_{n}(1)^{n}}$

$(2)^{n} = {_{n}C_{0}} + {_{n}C_{1}} + {_{n}C_{2}} + \cdots + {_{n}C_{n}}$

これで、証明すべき等式が得られました。

3. 最終的な答え

$_{n}C_{0} + _{n}C_{1} + _{n}C_{2} + \cdots + _{n}C_{n} = 2^{n}$