$a > 0$, $b > 0$ のとき、 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a})$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a})$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開する。

$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) = ab + a(\frac{4}{a}) + \frac{1}{b}(b) + \frac{1}{b}(\frac{4}{a})$

$= ab + 4 + 1 + \frac{4}{ab}$

$= ab + \frac{4}{ab} + 5$

$a > 0$, $b > 0$ より、$ab > 0$ である。

相加相乗平均の不等式を用いると、

$ab + \frac{4}{ab} \geq 2\sqrt{ab \cdot \frac{4}{ab}} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

よって、

$ab + \frac{4}{ab} + 5 \geq 4 + 5 = 9$

等号成立は $ab = \frac{4}{ab}$ のとき、つまり $(ab)^2 = 4$ のときである。

$ab > 0$ より、$ab = 2$

したがって、 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a})$ の最小値は 9 である。

3. 最終的な答え

9