次の関数を微分せよ。 (1) $y = \frac{x}{(1+x^3)^2}$ (4) $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \frac{x}{(1+x^3)^2}$

(4) $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x}{(1+x^3)^2}$ を微分します。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

ここで、 $u = x$, $v = (1+x^3)^2$ とおくと、

$u' = 1$

$v' = 2(1+x^3)(3x^2) = 6x^2(1+x^3)$

よって、

$y' = \frac{1 \cdot (1+x^3)^2 - x \cdot 6x^2(1+x^3)}{(1+x^3)^4} = \frac{(1+x^3)^2 - 6x^3(1+x^3)}{(1+x^3)^4} = \frac{(1+x^3)(1+x^3 - 6x^3)}{(1+x^3)^4} = \frac{1-5x^3}{(1+x^3)^3}$

(4) $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ を微分します。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

ここで、$u = x$, $v = \sqrt{1-x^2}$ とおくと、

$u' = 1$

$v' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

よって、

$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{1-x^2} - x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}{(\sqrt{1-x^2})^2} = \frac{\sqrt{1-x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{\frac{1-x^2 + x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}(1-x^2)} = \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1-5x^3}{(1+x^3)^3}$

(4) $y' = \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}$