全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、$n(U) = 50$, $n(A \cup B) = 42$, $n(A \cap B) = 3$, $n(\bar{A} \cap B) = 15$であるとき、以下の個数を求めます。 (1) $n(\bar{A} \cap \bar{B})$ (2) $n(A \cap \bar{B})$ (3) $n(A)$ (4) $n(B)$

1. 問題の内容

全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、$n(U) = 50$, $n(A \cup B) = 42$, $n(A \cap B) = 3$, $n(\bar{A} \cap B) = 15$であるとき、以下の個数を求めます。

(1) $n(\bar{A} \cap \bar{B})$

(2) $n(A \cap \bar{B})$

(3) $n(A)$

(4) $n(B)$

2. 解き方の手順

(1) $n(\bar{A} \cap \bar{B})$を求める。

ド・モルガンの法則より、$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$が成り立ちます。

したがって、$n(\bar{A} \cap \bar{B}) = n(\overline{A \cup B})$となります。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 50 - 42 = 8$

(2) $n(A \cap \bar{B})$を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$という関係があります。

また、$n(B) = n(A \cap B) + n(\bar{A} \cap B)$という関係があります。

さらに、$A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$であり、$(A \cap B) \cap (A \cap \bar{B}) = \emptyset$なので、$n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \bar{B})$が成り立ちます。

$n(A \cup B) = n(A \cap \bar{B}) + n(\bar{A} \cap B) + n(A \cap B)$なので、$42 = n(A \cap \bar{B}) + 15 + 3$。

$n(A \cap \bar{B}) = 42 - 15 - 3 = 24$

(3) $n(A)$を求める。

$n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \bar{B}) = 3 + 24 = 27$

(4) $n(B)$を求める。

$n(B) = n(A \cap B) + n(\bar{A} \cap B) = 3 + 15 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $n(\bar{A} \cap \bar{B}) = 8$

(2) $n(A \cap \bar{B}) = 24$

(3) $n(A) = 27$

(4) $n(B) = 18$