区間$[-a, a]$ ($a > 0$) で定義された2つの関数 $f(t) = t$ と $g(t) = t^2$ がある。 (1) $f(t)$ のノルムを求めよ。 (2) $f(t)$ と $g(t)$ が直交することを証明せよ。

1. 問題の内容

区間$[-a, a]$ ($a > 0$) で定義された2つの関数 $f(t) = t$ と $g(t) = t^2$ がある。

(1) $f(t)$ のノルムを求めよ。

(2) $f(t)$ と $g(t)$ が直交することを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(t)$ のノルムは、定義より $\sqrt{\int_{-a}^{a} |f(t)|^2 dt}$ で計算できる。

したがって、$f(t) = t$ のノルムは、$\sqrt{\int_{-a}^{a} t^2 dt}$ で計算できる。

$\int_{-a}^{a} t^2 dt = [\frac{1}{3}t^3]_{-a}^{a} = \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{3}(-a)^3 = \frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{3}a^3 = \frac{2}{3}a^3$

したがって、$f(t)$ のノルムは $\sqrt{\frac{2}{3}a^3} = a\sqrt{\frac{2a}{3}}$ となる。

(2) 2つの関数 $f(t)$ と $g(t)$ が直交することは、内積が0であることを示すことで証明できる。区間$[-a, a]$における $f(t)$ と $g(t)$ の内積は $\int_{-a}^{a} f(t)g(t) dt$ で計算される。

したがって、$f(t) = t$ と $g(t) = t^2$ の内積は $\int_{-a}^{a} t \cdot t^2 dt = \int_{-a}^{a} t^3 dt$ で計算できる。

$\int_{-a}^{a} t^3 dt = [\frac{1}{4}t^4]_{-a}^{a} = \frac{1}{4}a^4 - \frac{1}{4}(-a)^4 = \frac{1}{4}a^4 - \frac{1}{4}a^4 = 0$

内積が0であるため、$f(t)$ と $g(t)$ は直交する。

3. 最終的な答え

(1) $f(t)$ のノルム: $a\sqrt{\frac{2a}{3}}$

(2) $f(t)$ と $g(t)$ は直交する (証明は上記参照)。