実数 $a, b, c$ に対して、次の不等式が成り立つことを示す問題です。 (1) $2(a^4 + b^4) \ge (a+b)(a^3 + b^3)$ (2) $3(a^4 + b^4 + c^4) \ge (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ に対して、次の不等式が成り立つことを示す問題です。

(1) $2(a^4 + b^4) \ge (a+b)(a^3 + b^3)$

(2) $3(a^4 + b^4 + c^4) \ge (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$

2. 解き方の手順

(1)

示すべき不等式は $2(a^4 + b^4) \ge (a+b)(a^3 + b^3)$です。

これを展開すると $2a^4 + 2b^4 \ge a^4 + ab^3 + a^3b + b^4$となります。

移項して整理すると $a^4 - a^3b - ab^3 + b^4 \ge 0$となります。

この不等式は $(a-b)(a^3 - b^3) \ge 0$ と変形できます。

さらに $(a-b)(a-b)(a^2 + ab + b^2) \ge 0$ となります。

$(a-b)^2 (a^2 + ab + b^2) \ge 0$

ここで、$(a-b)^2 \ge 0$ は常に成り立ちます。

また、$a^2 + ab + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$ も常に成り立ちます。

したがって、$(a-b)^2 (a^2 + ab + b^2) \ge 0$ が成り立ちます。

よって、$2(a^4 + b^4) \ge (a+b)(a^3 + b^3)$ が成立します。

(2)

示すべき不等式は $3(a^4 + b^4 + c^4) \ge (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$です。

コーシー・シュワルツの不等式を利用します。

$(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) \ge (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2$

ここで $x_1 = a^2, x_2 = b^2, x_3 = c^2, y_1 = a, y_2 = b, y_3 = c$ とすると

$(a^4 + b^4 + c^4)(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a^3 + b^3 + c^3)^2$

別の考え方として

$a^4 + b^4 + c^4 \ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$

$a^3 + b^3 + c^3 \ge \frac{(a+b+c)^3}{9}$とはならない.

一般的に、実数x, y, zに対して、

$3(x^4 + y^4 + z^4) \ge (x+y+z)(x^3 + y^3 + z^3)$は成り立つ

$3(a^4+b^4+c^4) - (a+b+c)(a^3+b^3+c^3) = \sum_{\text{cyc}} a^4 - a^4 - a^3 b -a^3 c = a^4+b^4+c^4 -a^3b - a^3c -b^3 a -b^3 c - c^3 a - c^3 b \ge 0$

$a^4 + b^4 + c^4 -a^3b - a^3c -b^3 a -b^3 c - c^3 a - c^3 b = \frac{1}{2} (a-b)^2(a^2+ab+b^2) + \frac{1}{2} (b-c)^2(b^2+bc+c^2) + \frac{1}{2} (c-a)^2(c^2+ca+a^2)$

となり、これは0以上。

3. 最終的な答え

(1) $2(a^4 + b^4) \ge (a+b)(a^3 + b^3)$

(2) $3(a^4 + b^4 + c^4) \ge (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$