与えられた式を計算する問題です。 式は $ \frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)} $ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算する問題です。

式は $\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母の符号を調整して、共通の分母を作ります。

$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$

$= \frac{a^3}{(a-b)(a-c)} - \frac{b^3}{(a-b)(b-c)} + \frac{c^3}{(a-c)(b-c)}$

$= \frac{a^3(b-c) - b^3(a-c) + c^3(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

次に、分子を展開し、整理します。

$a^3(b-c) - b^3(a-c) + c^3(a-b) = a^3b - a^3c - ab^3 + b^3c + ac^3 - bc^3$

$= a^3b - ab^3 - a^3c + ac^3 + b^3c - bc^3$

$= ab(a^2 - b^2) - ac(a^2 - c^2) + bc(b^2 - c^2)$

$= ab(a-b)(a+b) - ac(a-c)(a+c) + bc(b-c)(b+c)$

$= ab(a-b)(a+b) + ac(c-a)(a+c) + bc(b-c)(b+c)$

さらに因数分解を行うために、式を整理します。

$ab(a^2 - b^2) - ac(a^2 - c^2) + bc(b^2 - c^2)$

$= ab(a-b)(a+b) - ac(a-c)(a+c) + bc(b-c)(b+c)$

$= (a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)$

よって、

$\frac{a^3(b-c) - b^3(a-c) + c^3(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

$= a+b+c$

3. 最終的な答え

a+b+c