等比数列 $2, -6, 18, -54, 162, \dots$ について、以下の問いに答えます。 (1) この数列の一般項を求めます。 (2) $-4374$ は第何項かを求めます。 (3) 等比数列の和 $2 - 6 + 18 - 54 + 162 - \dots - 4374$ を求めます。

1. 問題の内容

等比数列 $2, -6, 18, -54, 162, \dots$ について、以下の問いに答えます。

(1) この数列の一般項を求めます。

(2) $-4374$ は第何項かを求めます。

(3) 等比数列の和 $2 - 6 + 18 - 54 + 162 - \dots - 4374$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 一般項を求める

初項 $a$ と公比 $r$ を求めます。

初項は $a = 2$ です。

公比は $r = -6/2 = -3$ です。

等比数列の一般項は $a_n = a r^{n-1}$ で与えられます。

したがって、$a_n = 2 (-3)^{n-1}$ です。

(2) $-4374$ が第何項かを求める

$a_n = -4374$ となる $n$ を求めます。

$2 (-3)^{n-1} = -4374$

$(-3)^{n-1} = -2187$

$(-3)^{n-1} = (-3)^7$

したがって、$n-1 = 7$ より、$n = 8$ です。

(3) 等比数列の和を求める

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ です。

初項は $a = 2$、公比は $r = -3$、項数は $n = 8$ です。

したがって、$S_8 = \frac{2(1-(-3)^8)}{1-(-3)} = \frac{2(1-6561)}{4} = \frac{2(-6560)}{4} = -3280$ です。

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = 2(-3)^{n-1}$

(2) 第8項

(3) 和: $-3280$