与えられた4つの等式が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

与えられた4つの等式が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a(x+3) + b(x-1) = 12$

この式を整理すると、$(a+b)x + (3a-b) = 12$ となる。

恒等式であるためには、$x$ の係数が0でなければならない。

よって、$a+b=0$ かつ $3a-b=12$ となる。

これらの連立方程式を解くと、

$a+b=0$ より、$b=-a$ 。

これを $3a-b=12$ に代入すると、$3a - (-a) = 4a = 12$ より、$a=3$。

したがって、$b=-3$。

(2) $2x^2 + 1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$

右辺を展開すると、$a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$ となる。

よって、$2x^2 + 1 = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$。

各項の係数を比較すると、$a=2$、$2a+b=0$、$a+b+c=1$。

$a=2$ を $2a+b=0$ に代入すると、$4+b=0$ より、$b=-4$。

$a=2$、$b=-4$ を $a+b+c=1$ に代入すると、$2-4+c=1$ より、$c=3$。

(3) $ax^2 + bx + 3 = (x-1)(x+1) + c(x+2)^2$

右辺を展開すると、$(x^2 - 1) + c(x^2 + 4x + 4) = (1+c)x^2 + 4cx + (4c-1)$ となる。

よって、$ax^2 + bx + 3 = (1+c)x^2 + 4cx + (4c-1)$。

各項の係数を比較すると、$a=1+c$、$b=4c$、$3=4c-1$。

$3=4c-1$ より、$4c=4$ なので、$c=1$。

$c=1$ を $a=1+c$ に代入すると、$a=2$。

$c=1$ を $b=4c$ に代入すると、$b=4$。

(4) $x^3 - 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$

$x=1$ を代入すると、$1^3 - 1 = 0 + 0 + 0 + d$ より、$d=0$。

$x=2$ を代入すると、$2^3 - 1 = a(0) + b(2-1)(2-2) + c(2-1) + 0$ より、$7=0+0+c+0$ なので、$c=7$。

$x=3$ を代入すると、$3^3 - 1 = a(0) + b(3-1)(3-2) + c(3-1) + 0$ より、$26 = 2b + 2c + 0$ なので、$26=2b + 14$ より、$2b=12$ なので、$b=6$。

$x=0$ を代入すると、$0^3 - 1 = a(-1)(-2)(-3) + b(-1)(-2) + c(-1) + 0$ より、$-1 = -6a + 2b - c$ なので、$-1 = -6a + 12 - 7$ より、$-1=-6a+5$ なので、$6a=6$ より、$a=1$。

3. 最終的な答え

(1) $a=3$, $b=-3$

(2) $a=2$, $b=-4$, $c=3$

(3) $a=2$, $b=4$, $c=1$

(4) $a=1$, $b=6$, $c=7$, $d=0$