与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $X = \begin{pmatrix} x & s \\ y & t \end{pmatrix} = (x_1, x_2)$ について、いくつかの設問に答える必要があります。 Q6では、AXの第1列、第2列がそれぞれ $Ax_1, Ax_2$ であるかの正誤を判断します。 Q7では、$AX = I$ となるために、$Ax_1 = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ と $Ax_2 = \begin{pmatrix} v \\ w \end{pmatrix}$ となる必要があり、p, q, v, w を選択肢から選ぶ必要があります。 Q8では、与えられた連立方程式に基づいて正誤判断を行います。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $X = \begin{pmatrix} x & s \\ y & t \end{pmatrix} = (x_1, x_2)$ について、いくつかの設問に答える必要があります。

Q6では、AXの第1列、第2列がそれぞれ $Ax_1, Ax_2$ であるかの正誤を判断します。

Q7では、$AX = I$ となるために、$Ax_1 = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ と $Ax_2 = \begin{pmatrix} v \\ w \end{pmatrix}$ となる必要があり、p, q, v, w を選択肢から選ぶ必要があります。

Q8では、与えられた連立方程式に基づいて正誤判断を行います。

2. 解き方の手順

Q6:

行列 A に X をかけると、

$AX = A \begin{pmatrix} x & s \\ y & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & s \\ y & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x+y & 2s+t \\ x+y & s+t \end{pmatrix}$

$x_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ と $x_2 = \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$ とすると、

$Ax_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x+y \\ x+y \end{pmatrix}$

$Ax_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2s+t \\ s+t \end{pmatrix}$

$AX = \begin{pmatrix} Ax_1 & Ax_2 \end{pmatrix}$ となるので、AX の第1列、第2列は、それぞれ $Ax_1, Ax_2$ であるという記述は正しいです。

Q7:

$AX = I$ となるためには、$Ax_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ かつ $Ax_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ である必要があります。

なぜなら、逆行列 $X$ を掛けて単位行列 $I$ になるということは、$AX$ の第1列は $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ であり、第2列は $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ になる必要があるからです。

したがって、$p=1, q=0, v=0, w=1$ です。

Q8:

$Ax_1 = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ と $Ax_2 = \begin{pmatrix} v \\ w \end{pmatrix}$ を書き直すと、

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $x_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $x_2 = \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$ より、

$2x + y = p$

$x + y = q$

$2s + t = v$

$s + t = w$

という連立一次方程式が得られます。

(I)と(II)を比べると、どの式も左辺は変数が異なるだけであるという記述は正しいです。

3. 最終的な答え

Q6: 正しい

Q7: $p=1, q=0, v=0, w=1$

Q8: 正しい