$\sqrt{3}$ が有理数ではないことを背理法を用いて証明する問題であり、証明の過程の空欄を埋める。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$ が有理数ではないことを背理法を用いて証明する問題であり、証明の過程の空欄を埋める。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{3}$が有理数であると仮定し、$\sqrt{3} = \frac{q}{p}$ ($p, q$は互いに素な正の整数)と表せる。

両辺を2乗すると $3 = \frac{q^2}{p^2}$ となり、 $3p^2 = q^2$...(1) が得られる。

したがって、$q^2$は3の倍数である。

ここで、$q = 3s+t$ とおく。ただし、$s$は0以上の整数、$t$は3未満0以上の整数である。

このとき、$q^2 = (3s+t)^2 = 9s^2 + 6st + t^2 = 3(3s^2+2st) + t^2$ となる。

$q^2$が3の倍数であるためには、$t^2$ が3の倍数でなければならない。

$0 \leq t < 3$ なので、$t$は0, 1, 2のいずれかである。

$t=0$のとき、$t^2=0$ であり3の倍数。

$t=1$のとき、$t^2=1$ であり3の倍数ではない。

$t=2$のとき、$t^2=4$ であり3の倍数ではない。

したがって、$t=0$でなければならない。

このことから、$q=3s$...(2)となる。

(2)を(1)に代入すると、$3p^2 = (3s)^2 = 9s^2$ となり、$p^2 = 3s^2$が得られる。

すると、同様にして$p$は3の倍数となる。

これは、$p, q$ が互いに素であるという条件に矛盾するため、$\sqrt{3}$ は有理数ではない。

3. 最終的な答え

1: 3

2: 3

3: 9

4: 6

5: 0

6: 3

7: 3