$\int \sqrt[4]{x^3} dx$ を計算してください。

## 問題 (4)

1. 問題の内容

$\int \sqrt[4]{x^3} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、根号を指数に変換します。

$\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$

次に、積分を実行します。

$\int x^{\frac{3}{4}} dx = \frac{x^{\frac{3}{4} + 1}}{\frac{3}{4} + 1} + C$

$\frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$であるため、

$\int x^{\frac{3}{4}} dx = \frac{x^{\frac{7}{4}}}{\frac{7}{4}} + C = \frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}} + C$

最後に、$x^{\frac{7}{4}}$を根号で表現します。

$x^{\frac{7}{4}} = \sqrt[4]{x^7}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{7}\sqrt[4]{x^7} + C$

## 問題 (5)

1. 問題の内容

$\int t\sqrt{t} dt$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、根号を指数に変換します。

$\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$

次に、$t$と$\sqrt{t}$を掛け合わせます。

$t\sqrt{t} = t \cdot t^{\frac{1}{2}} = t^{1 + \frac{1}{2}} = t^{\frac{3}{2}}$

積分を実行します。

$\int t^{\frac{3}{2}} dt = \frac{t^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + C$

$\frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$であるため、

$\int t^{\frac{3}{2}} dt = \frac{t^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}} + C$

最後に、$t^{\frac{5}{2}}$を根号で表現します。

$t^{\frac{5}{2}} = \sqrt{t^5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}\sqrt{t^5} + C$