与えられた2つの式を複素数の範囲で因数分解します。 (ア) $2x^2 - 3x + 4$ (イ) $x^4 - 4x^2 - 5$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を複素数の範囲で因数分解します。

(ア) $2x^2 - 3x + 4$

(イ) $x^4 - 4x^2 - 5$

2. 解き方の手順

(ア)

2次方程式 $2x^2 - 3x + 4 = 0$ の解を求めます。

解の公式を用いて、$x$を求めます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ に $a=2$, $b=-3$, $c=4$ を代入すると、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{4}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{-23}}{4}$

$x = \frac{3 \pm i\sqrt{23}}{4}$

$x_1 = \frac{3 + i\sqrt{23}}{4}$、$x_2 = \frac{3 - i\sqrt{23}}{4}$ とすると、

$2x^2 - 3x + 4 = 2(x - \frac{3 + i\sqrt{23}}{4})(x - \frac{3 - i\sqrt{23}}{4})$

(イ)

$x^4 - 4x^2 - 5 = 0$ を $x^2 = t$ とおくと、$t^2 - 4t - 5 = 0$ となります。

これを因数分解すると、$(t - 5)(t + 1) = 0$ となります。

$t = 5, -1$ より、$x^2 = 5, -1$ です。

$x^2 = 5$ のとき、$x = \pm \sqrt{5}$ です。

$x^2 = -1$ のとき、$x = \pm i$ です。

よって、$x^4 - 4x^2 - 5 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i)(x + i)$

3. 最終的な答え

(ア) $2(x - \frac{3 + i\sqrt{23}}{4})(x - \frac{3 - i\sqrt{23}}{4})$

(イ) $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i)(x + i)$