ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いた式 $\frac{2}{3}(\vec{a} + 2\vec{b}) - \frac{1}{2}(\vec{a} - 3\vec{b})$ を計算し、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合の形で表す問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いた式 $\frac{2}{3}(\vec{a} + 2\vec{b}) - \frac{1}{2}(\vec{a} - 3\vec{b})$ を計算し、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を展開します。

$\frac{2}{3}(\vec{a} + 2\vec{b}) = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b}$

$\frac{1}{2}(\vec{a} - 3\vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{3}{2}\vec{b}$

次に、式全体を計算します。

$\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b} - (\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{3}{2}\vec{b}) = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の項をそれぞれまとめます。

$(\frac{2}{3} - \frac{1}{2})\vec{a} + (\frac{4}{3} + \frac{3}{2})\vec{b}$

分数の計算を行います。

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$

$\frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{8}{6} + \frac{9}{6} = \frac{17}{6}$

したがって、

$\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{17}{6}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{17}{6}\vec{b}$