$a > 0$ のとき、$a + \frac{4}{a} - 3$ の最小値と、そのときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、$a + \frac{4}{a} - 3$ の最小値と、そのときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$a > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係を利用することができる。

$a + \frac{4}{a}$ に対して相加平均と相乗平均の関係を用いると、

$a + \frac{4}{a} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

したがって、

$a + \frac{4}{a} - 3 \geq 4 - 3 = 1$

等号が成立するのは、$a = \frac{4}{a}$ のときである。

$a^2 = 4$

$a > 0$ より、$a = 2$

3. 最終的な答え

最小値は 1 であり、$a = 2$ のときである。