与えられた式を簡単にします。 (1) $(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})^2$ (2) $(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})$

1. 問題の内容

与えられた式を簡単にします。

(1) $(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})^2$

(2) $(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})$

2. 解き方の手順

(1) $(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})^2$ を展開します。

$(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 = (1+\sqrt{2}-\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})$

$= 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + 3$

$= 1 + 2 + 3 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

$= 6 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

(2) $(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})$ を展開します。

$(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}) = ((\sqrt{2}+\sqrt{5})+\sqrt{7})((\sqrt{2}+\sqrt{5})-\sqrt{7})$

これは $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の形なので、

$= (\sqrt{2}+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2$

$= (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 - 7$

$= 2 + 2\sqrt{10} + 5 - 7$

$= 7 + 2\sqrt{10} - 7$

$= 2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) $6 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

(2) $2\sqrt{10}$