## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

数列の和を求める問題です。具体的には、以下の３つの数列について、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

(7) $\{a_n\}: 1^2, 3^2, 5^2, 7^2, \dots$

(8) $\{a_n\}: \frac{1}{1^2+1}, \frac{1}{2^2+2}, \frac{1}{3^2+3}, \frac{1}{4^2+4}, \dots$

(9) $\{a_n\}: 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, \dots$

##

2. 解き方の手順

### (7) $\{a_n\}: 1^2, 3^2, 5^2, 7^2, \dots$

1. 数列の一般項を求めます。これは奇数の二乗の数列なので、$a_n = (2n-1)^2$ と表せます。

2. $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1)$ を計算します。

3. $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^n 1 = n$ を利用して計算します。

$$S_n = 4\sum_{k=1}^n k^2 - 4\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$$

$$S_n = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$$

$$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$$

$$S_n = \frac{n}{3}[2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3]$$

$$S_n = \frac{n}{3}[2(2n^2 + 3n + 1) - 6n - 6 + 3]$$

$$S_n = \frac{n}{3}[4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3]$$

$$S_n = \frac{n}{3}(4n^2 - 1)$$

### (8) $\{a_n\}: \frac{1}{1^2+1}, \frac{1}{2^2+2}, \frac{1}{3^2+3}, \frac{1}{4^2+4}, \dots$

1. 数列の一般項は $a_n = \frac{1}{n^2 + n} = \frac{1}{n(n+1)}$ と表せます。

2. $a_n = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ と部分分数分解します。

3. $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$ を計算します。これは階差数列の和なので、

$$S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$$

$$S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$

### (9) $\{a_n\}: 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, \dots$

1. $a_n = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \dots + \frac{3}{10^n} = 3 \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \dots + \frac{1}{10^n} \right)$ と表せます。

2. これは初項 $\frac{1}{10}$, 公比 $\frac{1}{10}$ の等比数列の和なので、

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{10^k} = \frac{\frac{1}{10}(1 - (\frac{1}{10})^n)}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{1}{10}(1 - \frac{1}{10^n})}{\frac{9}{10}} = \frac{1}{9} \left( 1 - \frac{1}{10^n} \right)$$

3. $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = 3 \sum_{k=1}^n \frac{1}{10^k} = 3 \cdot \frac{1}{9} \left( 1 - \frac{1}{10^n} \right)$ を計算します。

$$S_n = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{10^n} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{10^n - 1}{10^n} \right) = \frac{10^n - 1}{3 \cdot 10^n}$$

##

3. 最終的な答え

(7) $S_n = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$

(8) $S_n = \frac{n}{n+1}$

(9) $S_n = \frac{10^n - 1}{3 \cdot 10^n}$