以下の問題について、空欄に「必要」、「十分」、「必要十分」のうち適切な語句を入れ、文章を完成させる。 (1) $x = y$ は $x + z = y + z$ のための \_\_\_ 条件である。 (2) $ac = bc$ は $a = b$ のための \_\_\_ 条件である。 (3) 整数 $n$ について、$n$ は $4$ の倍数」は「$n$ は $2$ の倍数」のための \_\_\_ 条件である。 (4) 四角形がひし形であることは、対角線が垂直に交わるための \_\_\_ 条件である。

1. 問題の内容

以下の問題について、空欄に「必要」、「十分」、「必要十分」のうち適切な語句を入れ、文章を完成させる。

(1) $x = y$ は $x + z = y + z$ のための \_\_\_ 条件である。

(2) $ac = bc$ は $a = b$ のための \_\_\_ 条件である。

(3) 整数 $n$ について、$n$ は $4$ の倍数」は「$n$ は $2$ の倍数」のための \_\_\_ 条件である。

(4) 四角形がひし形であることは、対角線が垂直に交わるための \_\_\_ 条件である。

2. 解き方の手順

(1)

$x = y$ ならば $x + z = y + z$ は成り立つ。

$x + z = y + z$ ならば、両辺から $z$ を引くと $x = y$ となるので、$x = y$ が成り立つ。

よって、$x = y$ は $x + z = y + z$ であるための必要十分条件である。

(2)

$a = b$ ならば $ac = bc$ は成り立つ。

しかし、$ac = bc$ であっても、$c = 0$ の場合、$a$ と $b$ が異なっていても成り立つ。

たとえば、$a = 1$, $b = 2$, $c = 0$ のとき、$ac = 0$ であり、$bc = 0$ である。

したがって、$ac = bc$ は $a = b$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

(3)

$n$ が $4$ の倍数ならば、$n$ は $2$ の倍数である。

$n$ が $2$ の倍数であっても、$n$ が $4$ の倍数であるとは限らない。

たとえば、$n = 2$ は $2$ の倍数であるが、$4$ の倍数ではない。

したがって、$n$ が $4$ の倍数であることは、$n$ が $2$ の倍数であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

(4)

四角形がひし形であるならば、対角線は垂直に交わる。

対角線が垂直に交わる四角形であっても、ひし形であるとは限らない。

たとえば、凧形(かいがた)は対角線が垂直に交わるが、ひし形ではない場合がある。

したがって、四角形がひし形であることは、対角線が垂直に交わるための十分条件であるが、必要条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) 必要十分

(2) 必要

(3) 十分

(4) 十分