$\sqrt{5}$ が有理数でないことを背理法で証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させます。

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$ が有理数でないことを背理法で証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{5}$ が有理数であると仮定します。すると、$\sqrt{5} = \frac{q}{p}$ (p, qは互いに素な正の整数)と表せます。両辺を2乗すると、$5 = \frac{q^2}{p^2}$ となり、$5p^2 = q^2$ ... (1) が得られます。

* $q^2$ は5の倍数である。

ここで、$q = 5s + t$ とおきます。ただし、$s$は0以上の整数、$t$は5未満の0以上の整数である。

$q^2 = (5s + t)^2 = 25s^2 + 10st + t^2$

$q^2 = 5 \times 5s^2 + 2 \times 5 st + t^2$

* このとき、$q^2 = 25s^2 + 10st + t^2$ となる。

したがって、$q^2$が5の倍数であるためには、$0 \le t < 5$なので、$t = 0$でなければなりません。

* $t=0$でなければならない。

このことから、$q = 5s$ ... (2) となります。(2)を(1)に代入すると、$5p^2 = (5s)^2 = 25s^2$、よって、$p^2 = 5s^2$となります。

* $p^2 = 5s^2$

すると、上と同様にして$p$は5の倍数となる。これはp,qが互いに素であるという条件に矛盾するため、$\sqrt{5}$は有理数ではない。

3. 最終的な答え

* 1: 5

* 2: 5

* 3: 25

* 4: 10

* 5: 2

* 6: +

* 7: 0

* 8: 5

* 9: 5

* 10: 5