$\sqrt{7}$ が有理数でないことを証明するために、空欄を埋める問題です。$\sqrt{7}$ が有理数であると仮定し、矛盾を導くことで証明を完成させます。

1. 問題の内容

$\sqrt{7}$ が有理数でないことを証明するために、空欄を埋める問題です。$\sqrt{7}$ が有理数であると仮定し、矛盾を導くことで証明を完成させます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{7}$ が有理数であると仮定すると、ある互いに素な正の整数 $p$ と $q$ を用いて $\sqrt{7} = \frac{q}{p}$ と表すことができます。

両辺を2乗すると、

$7 = \frac{q^2}{p^2}$

したがって、

$7p^2 = q^2$ ... (1)

(1)より、$q^2$ は 7 の倍数であることがわかります。

ここで、$q = 7s + t$ とおきます。ただし、$s$ は0以上の整数、$t$ は0以上7未満の整数です。

このとき、

$q^2 = (7s + t)^2 = 49s^2 + 14st + t^2 = 7(7s^2 + 2st) + t^2$

したがって、$q^2$ が7の倍数であるためには、$0 \le t < 7$ なので、$t=0$ でなければなりません。

このことから、$q = 7s$ ... (2)

(2)を(1)に代入すると、

$7p^2 = (7s)^2 = 49s^2$

$p^2 = 7s^2$

すると、上と同様にして $p$ は 7 の倍数となります。

これは、$p$ と $q$ が互いに素であるという条件に矛盾するため、$\sqrt{7}$ は有理数ではありません。

3. 最終的な答え

2: 7

3: 4

4: 9

5: 1

6: 4

7: 0

8: 7

9: 7

10: 7

したがって、空欄を埋めた最終的な答えは以下のようになります。

すなわち、$q^2$ は 7 の倍数である。ここで $q = 7s + t$ とおく。

ただし、$s$ は0以上の整数、$t$ は7未満0以上の整数である。

このとき、$q^2 = 49s^2 + 14st + t^2$

したがって、$q^2$ が 7 の倍数であるためには、$0 \le t < 7$ なので、$t = 0$ でなければならない。このことから、$q = 7s$ ... (2)

となり、(2)を(1)に代入すれば $p^2 = 7s^2$。すると、上と同様にして $p$ は 7 の倍数となる。これは $p, q$ の条件に矛盾するため、$\sqrt{7}$ は有理数ではない。