$x>1$ かつ $y>1$ は、$x+y>2$ または $x+y<-2$ であるための何条件かを問う問題です。

1. 問題の内容

$x>1$ かつ $y>1$ は、$x+y>2$ または $x+y<-2$ であるための何条件かを問う問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x>1$ かつ $y>1$ のとき、$x+y$ の範囲を考えます。

$x > 1$ と $y > 1$ を足し合わせると、

$x+y > 1+1$

$x+y > 2$

となります。

したがって、$x>1$ かつ $y>1$ ならば、$x+y>2$ が成り立ちます。

次に、$x+y>2$ または $x+y<-2$ のとき、$x>1$ かつ $y>1$ が成り立つかどうかを考えます。

$x+y>2$ の場合は、$x=1.1$ かつ $y=1$ のように、$x>1$ であっても $y>1$ とは限らない場合があります。

また、$x+y<-2$ の場合は、$x>1$ かつ $y>1$ は明らかに成り立ちません。

よって、$x+y>2$ または $x+y<-2$ は、$x>1$ かつ $y>1$ であるための十分条件ではありません。

以上より、$x>1$ かつ $y>1$ ならば $x+y>2$ が成り立つので、$x>1$ かつ $y>1$ は、$x+y>2$ または $x+y<-2$ であるための十分条件です。

しかし、$x+y>2$ または $x+y<-2$ は、$x>1$ かつ $y>1$ であるための必要条件ではありません。

したがって、$x>1$ かつ $y>1$ は、$x+y>2$ または $x+y<-2$ であるための十分条件であるが、必要条件ではありません。

3. 最終的な答え

十分条件