与えられた複数の数式を計算し、簡略化します。問題は大きく分けて2つのセクションに分かれています。 * セクション5：平方根を含む項の加減算 * セクション6：平方根を含む式の乗算および展開

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた複数の数式を計算し、簡略化します。問題は大きく分けて2つのセクションに分かれています。

* セクション5：平方根を含む項の加減算

* セクション6：平方根を含む式の乗算および展開

2. 解き方の手順

**セクション5**

(1) $8\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$

共通の因数$\sqrt{2}$でまとめる:

$8\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = (8+4)\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

(2) $8\sqrt{3} - 5\sqrt{3}$

共通の因数$\sqrt{3}$でまとめる:

$8\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (8-5)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

(3) $4\sqrt{5} + 3\sqrt{7} - 2\sqrt{5} + \sqrt{7}$

$\sqrt{5}$と$\sqrt{7}$の項をそれぞれまとめる:

$4\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 3\sqrt{7} + \sqrt{7} = (4-2)\sqrt{5} + (3+1)\sqrt{7} = 2\sqrt{5} + 4\sqrt{7}$

(4) $4\sqrt{3} - 3\sqrt{6} - \sqrt{3} + 2\sqrt{6}$

$\sqrt{3}$と$\sqrt{6}$の項をそれぞれまとめる:

$4\sqrt{3} - \sqrt{3} - 3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = (4-1)\sqrt{3} + (-3+2)\sqrt{6} = 3\sqrt{3} - \sqrt{6}$

(5) $\sqrt{32} + \sqrt{8}$

平方根の中身を簡略化する:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

まとめる:

$4\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (4+2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

(6) $\sqrt{45} - \sqrt{80}$

平方根の中身を簡略化する:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$

まとめる:

$3\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = (3-4)\sqrt{5} = -\sqrt{5}$

(7) $-\sqrt{2} + 5\sqrt{8} + \sqrt{50}$

平方根の中身を簡略化する:

$5\sqrt{8} = 5\sqrt{4 \times 2} = 5(2\sqrt{2}) = 10\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

まとめる:

$-\sqrt{2} + 10\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (-1+10+5)\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$

(8) $\sqrt{12} - \sqrt{27} + \frac{1}{\sqrt{3}}$

平方根の中身を簡略化する:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

まとめる:

$2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = (2 - 3 + \frac{1}{3})\sqrt{3} = (-\frac{2}{3})\sqrt{3} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

**セクション6**

(1) $\sqrt{5}(\sqrt{10} - 1)$

分配法則を用いる:

$\sqrt{5}\sqrt{10} - \sqrt{5} = \sqrt{50} - \sqrt{5} = \sqrt{25 \times 2} - \sqrt{5} = 5\sqrt{2} - \sqrt{5}$

(2) $(\sqrt{6} + 2\sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})$

展開する:

$\sqrt{6}\sqrt{6} - \sqrt{6}\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\sqrt{6} - 2\sqrt{3}\sqrt{3} = 6 - \sqrt{18} + 2\sqrt{18} - 2(3) = 6 - 6 + \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

(3) $(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2$

展開する:

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}$

(4) $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$

和と差の積の公式: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$を用いる:

$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

(4) $(3 + \sqrt{2})^2$

展開する:

$(3 + \sqrt{2})^2 = 3^2 + 2(3)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

**セクション5**

(1) $12\sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{3}$

(3) $2\sqrt{5} + 4\sqrt{7}$

(4) $3\sqrt{3} - \sqrt{6}$

(5) $6\sqrt{2}$

(6) $-\sqrt{5}$

(7) $14\sqrt{2}$

(8) $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

**セクション6**

(1) $5\sqrt{2} - \sqrt{5}$

(2) $3\sqrt{2}$

(3) $10 - 2\sqrt{21}$

(4) $1$

(4) $11 + 6\sqrt{2}$