与えられた不等式 $3(a^4 + b^4 + c^4) \ge (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $3(a^4 + b^4 + c^4) \ge (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

コーシー・シュワルツの不等式を利用します。コーシー・シュワルツの不等式は、実数 $x_i, y_i$ に対して、

$(\sum_{i=1}^n x_i^2)(\sum_{i=1}^n y_i^2) \ge (\sum_{i=1}^n x_i y_i)^2$

が成り立つというものです。

$x_1 = a^2, x_2 = b^2, x_3 = c^2$

$y_1 = a, y_2 = b, y_3 = c$

とおくと、コーシー・シュワルツの不等式より、

$(a^4 + b^4 + c^4)(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a^3 + b^3 + c^3)^2$

が得られます。

次に、コーシー・シュワルツの不等式を以下のように適用します。

$x_1 = a, x_2 = b, x_3 = c$

$y_1 = 1, y_2 = 1, y_3 = 1$

とすると、

$(a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \ge (a + b + c)^2$

より、

$3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a + b + c)^2$

が得られます。したがって、

$a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3}$

この式より、

$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \ge \frac{a+b+c}{\sqrt{3}}$

を得ます。

しかしながら、この方向では与えられた不等式を証明することが難しいです。代わりに、以下の方法を試します。

与えられた不等式を展開すると、

$3(a^4 + b^4 + c^4) \ge a^4 + b^4 + c^4 + a^3b + a^3c + b^3a + b^3c + c^3a + c^3b$

すなわち

$2(a^4 + b^4 + c^4) \ge a^3b + a^3c + b^3a + b^3c + c^3a + c^3b$

ここで、$a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3$ が成り立つことを利用します。これは、

$a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 = a^3(a-b) - b^3(a-b) = (a^3-b^3)(a-b) = (a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2) = (a-b)^2(a^2+ab+b^2)$

より、$a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 \ge 0$ となるからです。

同様に、$b^4 + c^4 \ge b^3c + bc^3$、$c^4 + a^4 \ge c^3a + ca^3$ が成り立ちます。

したがって、$2(a^4 + b^4 + c^4) \ge a^3b + ab^3 + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3$ となり、証明すべき不等式が示されました。

3. 最終的な答え

与えられた不等式 $3(a^4 + b^4 + c^4) \ge (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$ は成り立つ。