5つの文字 a, a, b, b, c から3つの文字を選んで1列に並べる方法は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

5つの文字 a, a, b, b, c から3つの文字を選んで1列に並べる方法は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

3つの文字の選び方で場合分けをします。

(1) 3つとも異なる文字を選ぶ場合：

a, b, c の3つの文字を選ぶことになります。

並べ方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

(2) 同じ文字が2つ、異なる文字が1つを選ぶ場合：

同じ文字は a か b のどちらかなので、2通りあります。

a を2つ選んだ場合、残りの1つは b か c のどちらかです。

b を2つ選んだ場合、残りの1つは a か c のどちらかです。

したがって、組み合わせは (a, a, b), (a, a, c), (b, b, a), (b, b, c) の4通りです。

それぞれの並べ方は $\frac{3!}{2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 3$ 通りです。

したがって、この場合は $4 \times 3 = 12$ 通りです。

(3) 同じ文字が3つを選ぶ場合：

同じ文字が3つになる組み合わせは存在しません。なぜなら、どの文字も3つ以上はないからです。

(4) 同じ文字が2つ、同じ文字が2つが含まれていない場合：

a, a, b, b, cから３つの文字を選ぶとき、aが2つ、bが１つ、もしくはbが２つ、aが１つ、という場合を考えます。この場合、(a,a,b), (b,b,a)という組み合わせが考えられます。

(5) 同じ文字が２つと違う文字が１つで３つの文字を選ぶ場合：

選び方は、(a,a,x) (b,b,y) という選び方ができます。ここでxはbまたはcであり、yはaまたはcです。組み合わせは４通りあります。

このとき、並べ方は、3!/2! = 3 通りです。したがって、4 * 3 = 12 通りです。

すべての並べ方を足し合わせます。

$6 + 12 = 18$ 通り

3. 最終的な答え

18通り