$3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$ を証明する問題です。ここで、$a$, $b$, $c$ は実数とします（問題文に明記されていませんが、通常不等式の問題では実数を想定します）。

1. 問題の内容

$3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$ を証明する問題です。ここで、$a$, $b$, $c$ は実数とします（問題文に明記されていませんが、通常不等式の問題では実数を想定します）。

2. 解き方の手順

まず、不等式を展開し、整理することを目指します。

$3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$

右辺を展開すると:

$(a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3) = a^4 + b^4 + c^4 + a^3b + a^3c + b^3a + b^3c + c^3a + c^3b$

したがって、証明すべき不等式は:

$3(a^4 + b^4 + c^4) \geq a^4 + b^4 + c^4 + a^3b + a^3c + b^3a + b^3c + c^3a + c^3b$

これを整理すると:

$2(a^4 + b^4 + c^4) \geq a^3b + a^3c + b^3a + b^3c + c^3a + c^3b$

さらに、$a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3$ などが成り立つことを利用します。これは、

$a^4+b^4 - a^3b - ab^3 = a^3(a-b) - b^3(a-b) = (a-b)(a^3-b^3)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2) \ge 0$

からわかります。

同様に、$b^4 + c^4 \geq b^3c + bc^3$, $c^4 + a^4 \geq c^3a + ca^3$が成り立ちます。

したがって、以下の3つの不等式が得られます。

$a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3$

$b^4 + c^4 \geq b^3c + bc^3$

$c^4 + a^4 \geq c^3a + ca^3$

これらの不等式をすべて足し合わせると:

$2(a^4 + b^4 + c^4) \geq a^3b + ab^3 + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3$

ここで、AM-GM不等式を使うと，$a^3b + ab^3 \ge 2 \sqrt{a^4b^4} = 2a^2b^2$ が成り立ちますが、これは今回の場合役に立ちません。

そこで、$a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3$ ではなく、より強い不等式 $a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3$ が成り立つことを利用します。

相加相乗平均の関係から $a^4 + a^4 + a^4 + b^4 \geq 4 \sqrt[4]{a^{12} b^4} = 4 a^3 b$ が成り立つことに着目します。

同様に $a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3$ ではない不等式

$a^4 + b^4 \ge \frac{a^4+b^4}{2} + \frac{a^4+b^4}{2} \ge a^3b + ab^3$ を試みます。

$a^4+a^4+a^4+b^4 \ge 4a^3b$

$a^4+b^4+b^4+b^4 \ge 4ab^3$

$a^4 + a^4 + b^4 + c^4 \geq a^3b + a^3c + b^3a + c^3a$.

正の値であるという条件がないため、以上の方法ではうまくいきません。

そこで、別の方法を試します。

$a, b, c$ が実数であるという条件から、$a^4$, $b^4$, $c^4$ は常に非負です。

また、$a^3, b^3, c^3$ の符号は、$a, b, c$ の符号と同じです。

上記の解法は正しくありません。正しい解法は、$2(a^4 + b^4 + c^4) \geq a^3b + a^3c + b^3a + b^3c + c^3a + c^3b$ を示すことです。これはMuirheadの不等式を用いることで証明可能です。Muirheadの不等式より、(4,0,0)は(3,1,0)をmajorizeするため、$S_{400} \ge S_{310}$が成立する。

3. 最終的な答え

$3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$ が成立する。