与えられた式 $\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$ を計算し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$ を計算し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、分母の符号を調整し、共通の分母を作ることを試みる。

$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$

$= \frac{a^3}{(a-b)(a-c)} - \frac{b^3}{(a-b)(b-c)} + \frac{c^3}{(a-c)(b-c)}$

共通分母は $(a-b)(a-c)(b-c)$ である。

したがって、各項を共通分母で表す。

$\frac{a^3(b-c) - b^3(a-c) + c^3(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

分子を展開する。

$a^3(b-c) - b^3(a-c) + c^3(a-b) = a^3b - a^3c - ab^3 + b^3c + ac^3 - bc^3$

この式を変形して因数分解を試みる。

$a^3b - a^3c - ab^3 + b^3c + ac^3 - bc^3 = a^3b - ab^3 - a^3c + ac^3 + b^3c - bc^3 = ab(a^2 - b^2) - ac(a^2 - c^2) + bc(b^2 - c^2)$

$= ab(a-b)(a+b) - ac(a-c)(a+c) + bc(b-c)(b+c)$

$= ab(a-b)(a+b) + ac(c-a)(a+c) + bc(b-c)(b+c)$

もう一つの方法として、分子を変形する。

$a^3b - a^3c - ab^3 + b^3c + ac^3 - bc^3 = a^3b - ab^3 + ac^3 - a^3c + b^3c - bc^3$

$= ab(a^2 - b^2) + ac(c^2 - a^2) + bc(b^2 - c^2) = ab(a^2 - b^2) - ac(a^2 - c^2) + bc(b^2 - c^2)$

$= ab(a-b)(a+b) - ac(a-c)(a+c) + bc(b-c)(b+c) = (a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)$

したがって、

$\frac{(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = a+b+c$

3. 最終的な答え

$a+b+c$