与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理することで因数分解を行います。

まず、式を展開します。

$(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc = a(ab-bc-ca) + b(ab-bc-ca) - c(ab-bc-ca) + abc$

$= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + c^2a + abc$

$= a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 2abc$

次に、式を整理します。

$a^2b - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a - 2abc = a^2(b-c) + a(b^2 + c^2 - 2bc) + bc(c-b)$

$= a^2(b-c) + a(b-c)^2 - bc(b-c)$

$= (b-c) [a^2 + a(b-c) - bc]$

$= (b-c) [a^2 + ab - ac - bc]$

$= (b-c) [a(a+b) - c(a+b)]$

$= (b-c)(a+b)(a-c)$

$= -(c-b)(a+b)(a-c)$

$= -(a+b)(a-c)(c-b)$

$= (a+b)(c-a)(c-b)$

$=(a+b)(c-a)(c-b)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(c-a)(c-b)$

または、

$-(a+b)(a-c)(c-b)$

など。