与えられた数学の問題は、関数、点の位置、関数の最大値・最小値、放物線の軸と頂点、平行移動、放物線の方程式を求める問題、および与えられた条件を満たす放物線の二次関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、関数、点の位置、関数の最大値・最小値、放物線の軸と頂点、平行移動、放物線の方程式を求める問題、および与えられた条件を満たす放物線の二次関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 関数 $f(x) = 2x^2 - 3x - 1$ について：

* (1) $f(0)$ を求める:

$f(0) = 2(0)^2 - 3(0) - 1 = -1$

* (2) $f(-1)$ を求める:

$f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) - 1 = 2 + 3 - 1 = 4$

* (3) $f(a-1)$ を求める：

$f(a-1) = 2(a-1)^2 - 3(a-1) - 1$

$= 2(a^2 - 2a + 1) - 3a + 3 - 1$

$= 2a^2 - 4a + 2 - 3a + 3 - 1$

$= 2a^2 - 7a + 4$

2. 点の位置：

* (1) $(-1, -3)$ : 第3象限

* (2) $(1, \frac{1}{2})$ : 第1象限

3. 関数の最大値・最小値：

* (1) $y = -2x - 3, (1 \le x \le 2)$

これは一次関数なので、定義域の端点で最大値または最小値を取る。

* $x = 1$ のとき、$y = -2(1) - 3 = -5$

* $x = 2$ のとき、$y = -2(2) - 3 = -7$

* 最大値は $-5$ ($x=1$のとき), 最小値は $-7$ ($x=2$のとき).

* (2) $y = -2x^2 - 4x + 1, (-2 \le x < 1)$

まず平方完成する。

$y = -2(x^2 + 2x) + 1 = -2((x+1)^2 - 1) + 1 = -2(x+1)^2 + 2 + 1 = -2(x+1)^2 + 3$

これは上に凸の放物線で、頂点は $(-1, 3)$. 定義域 $-2 \le x < 1$ を考えると、

* $x = -1$ のとき、 $y = 3$ (頂点なので最大値)

* $x = -2$ のとき、$y = -2(-2+1)^2 + 3 = -2(1) + 3 = 1$

* $x \to 1$ のとき、$y \to -2(1+1)^2 + 3 = -2(4) + 3 = -5$

定義域に$x=1$を含まないので最小値はない。最大値は$3$ ($x=-1$のとき)

4. 2次関数の軸と頂点、グラフ：

* (1) $y = -x^2 + 3$

軸は $x = 0$, 頂点は $(0, 3)$. 上に凸の放物線

* (2) $y = x^2 - 2x + 2$

平方完成すると、$y = (x - 1)^2 + 1$

軸は $x = 1$, 頂点は $(1, 1)$. 下に凸の放物線

5. 放物線 $y = x^2 - 4x + 4$ は、どのように平行移動すると $y = x^2 + 2x - 1$ に重なるか？

平方完成する：

$y = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

$y = x^2 + 2x - 1 = (x + 1)^2 - 2$

頂点を比較すると、

$(2, 0)$ から $(-1, -2)$ へ移動するので、

$x$軸方向に $-3$, $y$軸方向に $-2$ だけ平行移動する。

6. 放物線 $y = 2x^2 + 4x$ を $x$軸方向に1, $y$軸方向に-2だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ。

$y = 2x^2 + 4x = 2(x^2 + 2x) = 2((x+1)^2 - 1) = 2(x+1)^2 - 2$

$x$軸方向に1, $y$軸方向に-2だけ平行移動すると、

$y + 2 = 2(x - 1 + 1)^2 - 2$

$y = 2(x-1+1)^2 - 2 - 2$

$y = 2x^2 - 4$

7. 条件を満たす放物線：

* (1) 頂点が $(1, -2)$ で, $(2, -3)$ を通る。

$y = a(x - 1)^2 - 2$

$(2, -3)$ を通るので、 $-3 = a(2 - 1)^2 - 2$

$-3 = a - 2$

$a = -1$

$y = -(x - 1)^2 - 2 = -(x^2 - 2x + 1) - 2 = -x^2 + 2x - 1 - 2 = -x^2 + 2x - 3$

* (2) 3点 $(-1, 1), (1, 1), (2, 0)$ を通る。

$y = ax^2 + bx + c$ とおく。

$(-1, 1)$ を通るので、$1 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$

$(1, 1)$ を通るので、$1 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$

$(2, 0)$ を通るので、$0 = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c$

3つの式を連立して解く。

$a - b + c = 1$

$a + b + c = 1$

$4a + 2b + c = 0$

最初の2式から、$2b = 0$ より $b = 0$.

$a + c = 1$ より、$c = 1 - a$.

$4a + c = 0$ に代入すると、$4a + 1 - a = 0$

$3a = -1$

$a = -\frac{1}{3}$

$c = 1 - (-\frac{1}{3}) = \frac{4}{3}$

よって、$y = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

1. (1) -1, (2) 4, (3) $2a^2 - 7a + 4$

2. (1) 第3象限, (2) 第1象限

3. (1) 最大値 -5 ($x=1$のとき), 最小値 -7 ($x=2$のとき). (2)最大値は$3$ ($x=-1$のとき), 最小値はない

4. 省略

5. $x$軸方向に $-3$, $y$軸方向に $-2$ だけ平行移動する。

6. $y = 2x^2 - 4$

7. (1) $y = -x^2 + 2x - 3$, (2) $y = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{4}{3}$