$a = \frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ について、(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ について、(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化するには、分母の共役複素数である $3 + \sqrt{7}$ を分母と分子の両方に掛けます。

$a = \frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} = \frac{(3 + \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}$

分子を展開します。

$(3 + \sqrt{7})(3 + \sqrt{7}) = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 9 + 6\sqrt{7} + 7 = 16 + 6\sqrt{7}$

分母を展開します。

$(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2$

したがって、

$a = \frac{16 + 6\sqrt{7}}{2} = \frac{2(8 + 3\sqrt{7})}{2} = 8 + 3\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$a = 8 + 3\sqrt{7}$