関数 $f(x) = x^3 + 2x$ の導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x = -1$ と $x = 2$ における導関数の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 2x$ の導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x = -1$ と $x = 2$ における導関数の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、導関数の公式を利用して $f(x) = x^3 + 2x$ の導関数を求めます。

$x^n$ の導関数は $nx^{n-1}$ であることを利用します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x)$

$f'(x) = 3x^{3-1} + 2x^{1-1}$

$f'(x) = 3x^2 + 2$

次に、$x = -1$ のときの $f'(x)$ の値を計算します。

$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2 = 3(1) + 2 = 3 + 2 = 5$

最後に、$x = 2$ のときの $f'(x)$ の値を計算します。

$f'(2) = 3(2)^2 + 2 = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14$

3. 最終的な答え

導関数の式: $f'(x) = 3x^2 + 2$

$x = -1$ のときの傾き: $5$

$x = 2$ のときの傾き: $14$