関数 $y = 2x^2 - 7x - 5$ のグラフ上の点 $(3, -8)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 7x - 5$ のグラフ上の点 $(3, -8)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、接線の傾きを求めます。

$y = 2x^2 - 7x - 5$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 4x - 7$

次に、$x = 3$ のときの $\frac{dy}{dx}$ の値を計算します。これは、点 $(3, -8)$ における接線の傾き $m$ を表します。

$m = 4(3) - 7 = 12 - 7 = 5$

したがって、接線の傾きは $5$ です。

点 $(3, -8)$ を通り、傾きが $5$ の直線の方程式は、点傾斜形を用いて求められます。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

ここで $(x_1, y_1) = (3, -8)$ と $m = 5$ を代入します。

$y - (-8) = 5(x - 3)$

$y + 8 = 5x - 15$

$y = 5x - 15 - 8$

$y = 5x - 23$

3. 最終的な答え

$y = 5x - 23$