まず、与えられた不等式を因数分解することを試みます。
x 2 − ( a 2 − 2 a + 1 ) x + a 2 − 2 a < 0 x^2 - (a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 2a < 0 x 2 − ( a 2 − 2 a + 1 ) x + a 2 − 2 a < 0 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) < 0 x^2 - (a-1)^2 x + a(a-2) < 0 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) < 0 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) = ( x − a ) ( x − ( a − 2 ) ) x^2 - (a-1)^2 x + a(a-2) = (x-a)(x-(a-2)) x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) = ( x − a ) ( x − ( a − 2 )) と予想して展開すると、 ( x − a ) ( x − ( a − 2 ) ) = x 2 − ( a + a − 2 ) x + a ( a − 2 ) = x 2 − ( 2 a − 2 ) x + a ( a − 2 ) (x-a)(x-(a-2)) = x^2 - (a+a-2)x + a(a-2) = x^2 - (2a-2)x + a(a-2) ( x − a ) ( x − ( a − 2 )) = x 2 − ( a + a − 2 ) x + a ( a − 2 ) = x 2 − ( 2 a − 2 ) x + a ( a − 2 ) . 係数が一致しないので、別の因数分解を試みます。
x 2 − ( a 2 − 2 a + 1 ) x + a 2 − 2 a = x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) < 0 x^2 - (a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 2a = x^2 - (a-1)^2x + a(a-2) < 0 x 2 − ( a 2 − 2 a + 1 ) x + a 2 − 2 a = x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) < 0 ここで、 f ( x ) = x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) f(x) = x^2 - (a-1)^2x + a(a-2) f ( x ) = x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) とおくと、この二次不等式を満たす整数 x x x が存在しないということは、 f ( x ) < 0 f(x) < 0 f ( x ) < 0 となる x x x が存在しないことと同値です。つまり、 f ( x ) ≥ 0 f(x) \ge 0 f ( x ) ≥ 0 が全ての実数 x x x について成り立つか、または f ( x ) < 0 f(x) < 0 f ( x ) < 0 を満たす x x x が存在するものの、その範囲に整数が含まれないかのどちらかです。 f ( x ) f(x) f ( x ) は下に凸な放物線なので、まずは f ( x ) ≥ 0 f(x) \ge 0 f ( x ) ≥ 0 となる条件を考えます。これは判別式 D D D が D ≤ 0 D \le 0 D ≤ 0 となることです。 D = ( a − 1 ) 4 − 4 ( a 2 − 2 a ) = a 4 − 4 a 3 + 6 a 2 − 4 a + 1 − 4 a 2 + 8 a = a 4 − 4 a 3 + 2 a 2 + 4 a + 1 ≤ 0 D = (a-1)^4 - 4(a^2 - 2a) = a^4 - 4a^3 + 6a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 8a = a^4 - 4a^3 + 2a^2 + 4a + 1 \le 0 D = ( a − 1 ) 4 − 4 ( a 2 − 2 a ) = a 4 − 4 a 3 + 6 a 2 − 4 a + 1 − 4 a 2 + 8 a = a 4 − 4 a 3 + 2 a 2 + 4 a + 1 ≤ 0 . しかし、この不等式を解くのは困難です。
そこで、別の考え方として、 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) < 0 x^2 - (a-1)^2x + a(a-2) < 0 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) < 0 を満たす整数 x x x が存在しないということは、二次関数の解の間に整数が存在しないことになります。 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) = 0 x^2 - (a-1)^2 x + a(a-2) = 0 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) = 0 の解を α , β \alpha, \beta α , β ( α < β \alpha < \beta α < β ) とすると、 α < x < β \alpha < x < \beta α < x < β を満たす整数 x x x が存在しないような a a a の範囲を求めれば良いです。
改めて式をよく見ると、 x 2 − ( a 2 − 2 a + 1 ) x + a 2 − 2 a < 0 x^2-(a^2-2a+1)x + a^2-2a < 0 x 2 − ( a 2 − 2 a + 1 ) x + a 2 − 2 a < 0 は x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) < 0 x^2-(a-1)^2 x + a(a-2) < 0 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) < 0 と変形できます。ここで、因数分解を試みると、 ( x − a + 2 ) ( x − a ) < 0 (x-a+2)(x-a) < 0 ( x − a + 2 ) ( x − a ) < 0 とはなりません。 解の公式を使うと、
x = ( a − 1 ) 2 ± ( a − 1 ) 4 − 4 ( a 2 − 2 a ) 2 x = \frac{(a-1)^2 \pm \sqrt{(a-1)^4 - 4(a^2-2a)}}{2} x = 2 ( a − 1 ) 2 ± ( a − 1 ) 4 − 4 ( a 2 − 2 a ) となり、複雑です。
不等式を満たす整数 x x x が存在しない条件は、不等式の解が存在しないか、または解が存在するものの、解の区間内に整数が含まれないかのいずれかです。 与えられた不等式は x 2 − ( a 2 − 2 a + 1 ) x + ( a 2 − 2 a ) < 0 x^2 - (a^2 - 2a + 1)x + (a^2 - 2a) < 0 x 2 − ( a 2 − 2 a + 1 ) x + ( a 2 − 2 a ) < 0 と書けます。 これは x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) < 0 x^2 - (a-1)^2 x + a(a-2) < 0 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) < 0 とも書けます。
x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) = 0 x^2 - (a-1)^2 x + a(a-2) = 0 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) = 0 となる x x x は x = a − 2 x = a-2 x = a − 2 または x = a x = a x = a を解に持つとは限りません。 ( x − a ) ( x − ( a − 2 ) ) = x 2 − ( 2 a − 2 ) x + a ( a − 2 ) (x-a)(x-(a-2)) = x^2 - (2a-2)x + a(a-2) ( x − a ) ( x − ( a − 2 )) = x 2 − ( 2 a − 2 ) x + a ( a − 2 ) であるため、 ( a − 1 ) 2 = 2 a − 2 (a-1)^2 = 2a-2 ( a − 1 ) 2 = 2 a − 2 の場合にのみ因数分解可能です。 ( a − 1 ) 2 = 2 a − 2 ⟺ a 2 − 2 a + 1 = 2 a − 2 ⟺ a 2 − 4 a + 3 = 0 ⟺ ( a − 1 ) ( a − 3 ) = 0 (a-1)^2 = 2a-2 \iff a^2-2a+1 = 2a-2 \iff a^2 - 4a + 3 = 0 \iff (a-1)(a-3) = 0 ( a − 1 ) 2 = 2 a − 2 ⟺ a 2 − 2 a + 1 = 2 a − 2 ⟺ a 2 − 4 a + 3 = 0 ⟺ ( a − 1 ) ( a − 3 ) = 0 となり、常に因数分解可能ではありません。
2次方程式 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) = 0 x^2-(a-1)^2 x + a(a-2) = 0 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) = 0 が解を持たないとき、 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) < 0 x^2-(a-1)^2 x + a(a-2) < 0 x 2 − ( a − 1 ) 2 x + a ( a − 2 ) < 0 となる x x x は存在しないため、条件を満たします。この時、判別式は D = ( a − 1 ) 4 − 4 ( a 2 − 2 a ) < 0 D = (a-1)^4 - 4(a^2-2a) < 0 D = ( a − 1 ) 4 − 4 ( a 2 − 2 a ) < 0 となります。
もしも、 a ( a − 2 ) < 0 a(a-2)<0 a ( a − 2 ) < 0 となる a a a の範囲を求めるならば、 0 < a < 2 0 < a < 2 0 < a < 2 となります。
二次方程式の解をα, β (α < β)とすると、α < x < βの範囲に整数が存在しなければ良いです。α < x < β を満たす整数xが存在しない条件は、β - α ≦ 1 です。
