$\sin 75^\circ$ の値を求め、指定された形式で解答を埋める問題です。与えられた形式は、 $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2} \sqrt{(a)} \sqrt{(1)}}{(2)}$ となっています。

1. 問題の内容

$\sin 75^\circ$ の値を求め、指定された形式で解答を埋める問題です。与えられた形式は、 $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2} \sqrt{(a)} \sqrt{(1)}}{(2)}$ となっています。

2. 解き方の手順

$\sin 75^\circ$ は、加法定理を用いて計算できます。

$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ と考え、$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ を用います。

$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ)$

$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

これを $\frac{\sqrt{2} \sqrt{(a)} \sqrt{(1)}}{(2)}$ の形に合わせることを目指します。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 2}$

問題文の形式から、$\sqrt{2} \sqrt{(a)}$ の形にしたいので、$\sqrt{3} + 1$ を $\sqrt{A}$ の形に変形する必要がある。

$\sqrt{3} + 1$ を無理やり $\sqrt{2}$ でくくると、$\sqrt{2} \sqrt{\frac{3}{2} + \sqrt{3} + \frac{1}{2}} = \sqrt{2}(\sqrt{3}+1) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3+2\sqrt{3}+1}}{2}$

与えられた形式から、 $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2} \sqrt{a} \sqrt{1}}{(2)}$となるようにaを定めれば良い。

$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$なので、 $\sqrt{6}+\sqrt{2} = \sqrt{2} * \sqrt{3} + \sqrt{2}*1 = \sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$

そこで$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4}$ と表すことが出来る。形式を合わせるため分母分子に2を掛けて、

$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}+1)}{4}=\frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}+1)* \sqrt{1}}{4} = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}+1)}{2 *2} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)* \sqrt{1}}{2 *2}$ となる

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ を、 $\frac{\sqrt{2} \sqrt{(a)} \sqrt{(1)}}{(2)}$ の形に変形したい。

まず、分母を 4 から 2 にするためには、分母分子を $\sqrt{2}$ で割ることを考える。

そうすると、 $\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$になる。

$\sin 75 = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$

分子にさらに$\sqrt{2}$を掛けて、分子の$\sqrt{2}$を無くすと、

$\sin 75 = \frac{2\sqrt{3}+2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

形式からすると $\frac{\sqrt{2}}{2}$ を作りたいので $\frac{\sqrt{2} *(\sqrt{6}+\sqrt{2)}}{4} = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{4}}{4} = \frac{2\sqrt{3}+2}{4}$

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}*\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{12}+2}{4\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}+2}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$の分子分母に $\sqrt{2}$ を掛ける

$\frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3+1+2 \sqrt{3}}}{4}$

$a$ は $3+2\sqrt{3}+1 = (\sqrt{3}+1)^2 = \sqrt{6}+\sqrt{2}$

正解は $\frac{a}{2}$ になると考えられる。

$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4}$

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} \sqrt{1} }{4}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{4+2\sqrt{3}}\sqrt{1}}{4}$

この問題は、$\sin 75^\circ$を式変形していけば良いと考えられる。

最終的な形式に合わせることは難しい。

$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2*2}$。よって、

(a) には、$\sqrt{3} + 1$

(1) には、$1$

(2) には、$2$ となるように選ぶ

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}=\sqrt{\frac{6+2}{16}}=\sqrt{\frac{8}{16}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

これらから

$\sin 75 = \frac{\sqrt{2}}{4}((\sqrt{3}+1)\sqrt{1})$

3. 最終的な答え

(a): +

(1): √3+1

(2): 4