関数 $y = 3x^2 + 5x - 6$ のグラフ上の点 $(-3, 6)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^2 + 5x - 6$ のグラフ上の点 $(-3, 6)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求める。導関数は、グラフ上の各点における接線の傾きを表す。

$y' = \frac{dy}{dx} = 6x + 5$

次に、$x = -3$ を導関数に代入して、点 $(-3, 6)$ における接線の傾きを計算する。

$y'(-3) = 6(-3) + 5 = -18 + 5 = -13$

したがって、点 $(-3, 6)$ における接線の傾きは $-13$ である。

接線の傾きと点 $(-3, 6)$ がわかっているので、点傾斜式を用いて接線の方程式を求める。点傾斜式は、 $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点であり、$m$ は接線の傾きである。

$y - 6 = -13(x - (-3))$

$y - 6 = -13(x + 3)$

$y - 6 = -13x - 39$

$y = -13x - 39 + 6$

$y = -13x - 33$

3. 最終的な答え

$y = -13x - 33$