与えられた関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ のグラフ上の点 $(3,4)$ における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ のグラフ上の点 $(3,4)$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。導関数は、グラフ上の各点における接線の傾きを表します。

$$y' = \frac{dy}{dx} = -6x + 8$$

次に、点 $(3,4)$ における接線の傾きを求めます。これは、導関数に $x = 3$ を代入することで得られます。

$$y'(3) = -6(3) + 8 = -18 + 8 = -10$$

したがって、点 $(3,4)$ における接線の傾きは $-10$ です。

次に、点 $(3,4)$ を通り、傾きが $-10$ の直線の方程式を求めます。点傾斜式を用いると、

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

ここで、$x_1 = 3$, $y_1 = 4$, $m = -10$ ですから、

$$y - 4 = -10(x - 3)$$

$$y - 4 = -10x + 30$$

$$y = -10x + 34$$

これが求める接線の方程式です。

3. 最終的な答え

$y = -10x + 34$