$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ 、 $b = 12\sqrt{2} - 3$ とするとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a+b$ の値を求めよ。また、$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ の値を求めよ。 (3) $\frac{\sqrt{2a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ の値を求めよ。

はい、承知しました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ 、 $b = 12\sqrt{2} - 3$ とするとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a+b$ の値を求めよ。また、$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ の値を求めよ。

(3) $\frac{\sqrt{2a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{2}+1$ をかけます。

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1} = (\sqrt{2}+1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3+2\sqrt{2}$

(2) $a+b$ を求めます。

$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (12\sqrt{2}-3) = 14\sqrt{2}$

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ を求めます。

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b = a+b + 2\sqrt{ab}$

$ab = (3+2\sqrt{2})(12\sqrt{2}-3) = 36\sqrt{2} -9 + 48 - 6\sqrt{2} = 30\sqrt{2}+39$

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = 14\sqrt{2} + 2\sqrt{39+30\sqrt{2}}$

$39+30\sqrt{2}=(5\sqrt{2}+3)^2$であるから

$\sqrt{39+30\sqrt{2}}=5\sqrt{2}+3$

よって

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = 14\sqrt{2} + 2(5\sqrt{2}+3) = 14\sqrt{2}+10\sqrt{2}+6 = 24\sqrt{2}+6 = 6+24\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{2a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ を計算します。通分します。

$\frac{(\sqrt{2a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) - (\sqrt{a} + \sqrt{2b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{(\sqrt{2a}\sqrt{a} - \sqrt{2a}\sqrt{b} - \sqrt{b}\sqrt{a} + b) - (a + \sqrt{ab} + \sqrt{2ab} + \sqrt{2}b)}{a - b}$

$= \frac{\sqrt{2}a - \sqrt{2ab} - \sqrt{ab} + b - a - \sqrt{ab} - \sqrt{2ab} - \sqrt{2}b}{a-b}$

$= \frac{\sqrt{2}(a-b) - a+b -2\sqrt{2ab}-2\sqrt{ab} }{a-b} = \frac{\sqrt{2}(a-b) - (a-b) -2\sqrt{ab}(1+\sqrt{2}) }{a-b}$

$a - b = 3+2\sqrt{2} - (12\sqrt{2} - 3) = 6 - 10\sqrt{2}$

$a - b = 6-10\sqrt{2}$

$ab = (3+2\sqrt{2})(12\sqrt{2}-3) = 36\sqrt{2}-9+48-6\sqrt{2} = 39+30\sqrt{2}$

$\sqrt{ab}=\sqrt{39+30\sqrt{2}}=5\sqrt{2}+3$

$= \frac{\sqrt{2}(6-10\sqrt{2}) - (6-10\sqrt{2}) - 2(5\sqrt{2}+3)(1+\sqrt{2}) }{6-10\sqrt{2}}$

$= \frac{6\sqrt{2}-20 - 6 + 10\sqrt{2} - 2(5\sqrt{2}+10+3+3\sqrt{2}) }{6-10\sqrt{2}}$

$= \frac{16\sqrt{2}-26 - 2(8\sqrt{2}+13) }{6-10\sqrt{2}}$

$= \frac{16\sqrt{2}-26 - 16\sqrt{2}-26 }{6-10\sqrt{2}} = \frac{-52}{6-10\sqrt{2}} = \frac{-26}{3-5\sqrt{2}} = \frac{-26(3+5\sqrt{2})}{(3-5\sqrt{2})(3+5\sqrt{2})} = \frac{-26(3+5\sqrt{2})}{9-50} = \frac{-26(3+5\sqrt{2})}{-41} = \frac{26}{41}(3+5\sqrt{2}) = \frac{78+130\sqrt{2}}{41}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $a+b = 14\sqrt{2}$ 、 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = 6 + 24\sqrt{2}$

(3) $\frac{78+130\sqrt{2}}{41}$